Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的線段的長為c，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求直線FM的斜率；
（Ⅱ）求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，計算可得a²=3c²、b²=2c²，設(shè)直線FM的方程為y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過聯(lián)立橢圓與直線FM的方程，可得M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），利用|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$計算即可；
（Ⅲ）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），分別聯(lián)立直線FP、直線OP與橢圓方程，分x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）與x∈（-1，0）兩種情況討論即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴2a²=3b²，∴a²=3c²，b²=2c²，
設(shè)直線FM的斜率為k（k＞0），則直線FM的方程為y=k（x+c），
∵直線FM被圓x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的線段的長為c，
∴圓心（0，0）到直線FM的距離d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d²+$（\frac{c}{2}）^{2}$=$（\frac{2}）^{2}$，即（$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²+$（\frac{c}{2}）^{2}$=$（\frac{2}）^{2}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直線FM的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（I）得橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，直線FM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
聯(lián)立兩個方程，消去y，整理得3x²+2cx-5c²=0，解得x=-$\frac{5}{3}$c，或x=c，
∵點M在第一象限，∴M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），
∵|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，∴$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}c-0）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
解得c=1，∴a²=3c²=3，b²=2c²=2，
即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅲ）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），直線FP的斜率為t，
∵F（-1，0），∴t=$\frac{y-0}{x+1}$，即y=t（x+1）（x≠-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=t（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得2x²+3t²（x+1）²=6，
又∵直線FP的斜率大于$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{\frac{6-2{x}^{2}}{3（x+1）^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，6-2x²＞6（x+1）²，
整理得：x（2x+3）＜0且x≠-1，
解得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，或-1＜x＜0，
設(shè)直線OP的斜率為m，得m=$\frac{y}{x}$，即y=mx（x≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得m²=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{3}$．
①當(dāng)x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）時，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}}$，∴m∈（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
②當(dāng)x∈（-1，0）時，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，
∴m=-$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}}$，∴m∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
綜上所述，直線OP的斜率的取值范圍是：（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題．