Question

已知下列4個命題：
①若f（x）為減函數(shù)，則-f（x）為增函數(shù)；
②若f（x）為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)=

1

f(x)

在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
③若函數(shù)f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（1，2）；
④函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]是偶函數(shù)．其中正確命題的個數(shù)是：（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷．②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及分式函數(shù)的定義域判斷．③根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的定義進行判斷．④根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．

解答：解：①任設(shè)定義域內(nèi)的兩個變量x₁f（x₂），所以-f（x₁）＜-f（x₂），所以-f（x）為增函數(shù)，所以①正確．
②因為g(x)=

1

f(x)

在其定義域內(nèi)要求分母不為零，所以若f（x）為增函數(shù)，設(shè)f（x）=x，因為f（0）=0，根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)可知，g（0）無意義，所以②錯誤．
③要使分段函數(shù)是增函數(shù)，則2-m＞0且m-1＞0，同時2-m+2m≤2（m-1），即

m＜2 m＞1 m＞4

，所以不等式無解，所以③錯誤．
④若f（x），g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），所以f（-x）g（-x）=f（x）g（x），所以f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]是偶函數(shù)，所以④正確．
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．