己知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,
(Ⅰ)證明函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的值域.
(Ⅲ)令數(shù)學(xué)公式.判定函數(shù)g(x)的奇偶性,并證明.

解:(Ⅰ)設(shè)x,x是R內(nèi)任意兩個(gè)值,且x1<x2,則x2-x1>0
y2-y1=f(x2)-f(x1)=-
==
當(dāng)x1<x2時(shí),
->0.又+1>0,+1>0
∴y2-y1>0
∴f(x)是R上的增函數(shù).
(Ⅱ):(1)∵,又2x>0,
∴-1<y<1
函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
(Ⅲ)由題意知g(x)=
易知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)
g(-x)===-=-g(x)
∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).
分析:(Ⅰ)先對函數(shù)作適當(dāng)變形,再利用定義證明,先在定義域上任取兩個(gè)變量,且界定大小,再作差變形,與零比較,由定義得到結(jié)論.
(Ⅱ)利用有界法求解,將函數(shù)看作方程,解得 ,再由2x>0,解得y的范圍,即為所求.
(Ⅲ)求出函數(shù)g(x)的定義域,利用函數(shù)奇偶性的定義加以判斷即可得到結(jié)論.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)奇偶性、值域的求法和單調(diào)性的證明,值域常見方法有單調(diào)性法,基本函數(shù)法,有界性法,判別式法等,證明單調(diào)性一般有定義法,導(dǎo)數(shù)法,考查運(yùn)算能力以及分析問題解決問題的能力.屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
,
(Ⅰ)證明函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的值域.
(Ⅲ)令g(x)=
x2
2f(x)
.判定函數(shù)g(x)的奇偶性,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象點(diǎn)的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P是M,N的中點(diǎn).
(1)求證:y1+y2的定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,n≥2)
,an=
1
6
,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*)
,Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和,當(dāng)Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立時(shí),試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,設(shè)bn=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
,Bn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和,證明:Bn
17
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象點(diǎn)的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P是M,N的中點(diǎn).
(1)求證:y1+y2的定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,n≥2),求Sn
;
(3)設(shè)an=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
,Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和,證明:Tn
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且滿足以下三條件:
①當(dāng)x1,x2是定義域中的數(shù)時(shí),有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1)

②f(a)=-1(a>0,a是定義域中的一個(gè)數(shù));
③當(dāng)0<x<2a時(shí),f(x)<0.
(1)試證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
(2)試證明f(x)在(0,4a)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)

    己知函數(shù),(Ⅰ)證明函數(shù)是R上的增函數(shù);

(Ⅱ)求函數(shù)的值域.(Ⅲ)令.判定函數(shù)的奇偶性,并證明

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