Question

如圖橢圓的上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)為右焦點，過F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點．作平行四邊形OCED，E恰在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若平行四邊形OCED的面積為，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵焦點為F（c，0），AB斜率為，故CD方程為y=（x-c）．與橢圓聯(lián)立后消去y得2x²-2cx-b²=0．
∵CD的中點為G（，-），點E（c，-）在橢圓上，
∴將E（c，-）代入橢圓方程并整理得2c²=a²，
∴e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD的方程為y=（x-c），b=c，a=c．
與橢圓聯(lián)立消去y得2x²-2cx-c²=0．
∵平行四邊形OCED的面積為：
S=c|y_C-y_D|=c
=c，
∴c=，a=2，b=．
故橢圓方程為．
分析：（I）根據(jù)題意可知AB的斜率，進而根據(jù)點斜式表示出直線CD的方程，代入橢圓方程，進而可表示出CD的中點的坐標，則E點的坐標可得，代入橢圓方程即可求得a和c的關(guān)系式求得離心率e．
（II）先設直線CD的方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得c值，從而解決問題．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了學生綜合運用基礎知識的能力．