（1）在△ABC中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且bcosC+ccosB=3acosB，
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若
BA
•
BC
=2且b=2
2
，求a和c的值．
（2）已知數(shù)列{an}滿足遞推關系式an=2an-1+1（n≥2），其中a4=15．求數(shù)列{an}的通項公式和數(shù)列{an}的前n項和Sn．
分析：（1））（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代換得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin（B+C）=3sinAcosB，易求cosB
（Ⅱ）
BA
•
BC
=2，即cacosB=2，ca=6①．又b=2
2
，由余弦定理8=a2+c2-2accosB，即a2+c2=12②，①②聯(lián)立求出a，c．
（2）由an=2an-1+1（n≥2），構造得出an+1=2（an-1+1），通過求出等比數(shù)列{an+1}的通項公式得出數(shù)列{an}的通項公式．
解答：解：（1）（Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代換得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
整理sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，所以cosB=
1
3
（sinA≠0）
（Ⅱ）若
BA
•
BC
=2，即cacosB=2，ca=6①．
又b=2
2
，由余弦定理8=a2+c2-2accosB，即a2+c2=12②
①②聯(lián)立解得a=c=
6

（2）在an=2an-1+1（n≥2）兩邊同時加1，得出an+1=2（an-1+1），
數(shù)列{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列，首項a1+1
a4+1=（a1+1）•23=16，解得a1=1．
數(shù)列{an+1}的通項公式為an+1=2•2n-1=2n
an=2n-1
數(shù)列{an}的前n項和Sn=21+22+…+2n-n
=2n+1-n-2
點評：（1）題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用．（2）題考查數(shù)列性質(zhì)的判定，通項公式求解，考查轉(zhuǎn)化構造的解題方法與能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

9、給出如下四個命題：
①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；
②命題“若a＞b，則2a＞2b-1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b-1”；
③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．其中不正確 的命題的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4x的焦點與橢圓C2：
x2
9
+
y2
b
=1的右焦點F2重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），點C在拋物線y2=4x上運動，求△ABC重心G的軌跡方程；
（2）若P是拋物線C1與橢圓C2的一個公共點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα•cosβ的值及△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下四個命題
（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=
π
4

（2）設
a
，
b
是兩個非零向量且|
a
•
b
=|
a
||
b
|，則存在實數(shù)λ，使得
b
=λ
a
；
（3）方程sinx-x=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個；
（4）a，b∈R且a3-3b＞b3-3a則a＞b；
其中正確的個數(shù)有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
（1）在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的必要而非充分條件；
（2）函數(shù)f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π；
（3）在△ABC中，若AB=2
2
，AC=2
3
，B=
π
3
，則△ABC為鈍角三角形；
（4）要得到函數(shù)y=sin（
x
2
-
π
4
）的圖象，只需將y=sin
x
2
的圖象向右平移
π
4
個單位．
其中真命題的序號是
（2）
（2）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用向量探索幾何的性質(zhì)：
（1）在△ABC中，D是線段BC的中點，證明：
AB
+
AC
=2
AD
；
（2）把此結(jié)論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，探究
AB
，
AC
，
AD
與
AO
的等量關系，并說明理由；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A1A2A3…An的底面多邊形內(nèi)一點O的位置，并寫出向量：
PA1
、
PA2
、…、
PAn
與
PO
的等量關系．（不必證明）

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