Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ x2﹣（1+a）x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0對(duì)定義域中的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)m，n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= +x﹣（1+a），

①當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；

若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；

單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．

③當(dāng)a=1時(shí)，則f′（x）= ≥0，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；

④當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．

（2）解：由于f（1）=﹣ ，

當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，

此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．

當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=﹣ ，

此時(shí)，f（1）≥0，解得a≤﹣ ，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ）．

（3）解：由（2）知，當(dāng)a=﹣ 時(shí)，

f（x）=﹣ lnx+ x2﹣ x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，

這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x2﹣x．

當(dāng)x＞1時(shí)，變換為 ＞ = ﹣ ，

因此不等式左邊＞（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ = ，

從而得證．

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由于f（1）=﹣ ，當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=﹣ ，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．（3）由（2）知，當(dāng)a=﹣ 時(shí)，f（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x2﹣x．由此能夠證明對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．