Question

如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)向量方法證明：
（1）OM∥平面BCF；
（2）平面MDF⊥平面EFCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則先求A，B，C，D，F(xiàn)，M，O等點(diǎn)的坐標(biāo)，再求

OM

，

BA

的坐標(biāo)，可證

OM

⊥

BA

，從而可證OM∥平面BCF．
（2）設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個(gè)法向量分別是n₁=（x₁，y₁，z₁），n₂=（x₂，y₂，z₂）．由n1•

DF

=n1•

DM

=0，解得n₁，n₂的值，則可得n₁•n₂=0，從而可證平面MDF⊥平面EFCD．

解答：
證明：（1）由題意，AB，AD，AE兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），M（

1

2

，0，0），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

）

OM

=（0，-

1

2

，-

1

2

），

BA

=（-1，0，0）
∴

OM

•

BA

=0
∴

OM

⊥

BA

．
∵三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，
∴AB⊥平面BCF，∴

BA

是平面BCF的一個(gè)法向量，且OM?平面BCF，
∴OM∥平面BCF．
（2）設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個(gè)法向量分別是n₁=（x₁，y₁，z₁），n₂=（x₂，y₂，z₂）．
∵

DF

=（1，-1，1），

DM

=（

1

2

，-1，0），

DC

=（1，0，0），
由n1•

DF

=n1•

DM

=0，得

x1-y1+z1=0 1 2 x1-y1=0

解得

y1= 1 2 x1 z1=- 1 2 x1

令x₁=1，則n₁=（1，

1

2

，-

1

2

）．
同理可得n₂=（0，1，1），
∵n₁•n₂=0
∴平面MDF⊥平面EFCD．

點(diǎn)評(píng)：本題的證明，可以用幾何法，也可以用向量法，用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理．若能建立空間直角坐標(biāo)系，其證法較為靈活方便，本題屬于中檔題．