Question

5．求以曲線2x²+y²-4x-10=0和y²=2x-2的交點與原點的連線為漸近線，且實軸長為12的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}-4x-10=0}\\{{y}^{2}=2x-2}\end{array}\right.$，解出可得漸近線方程為：y=$±\frac{2}{3}$x.2a=12，解得a．對焦點分類討論即可得出．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}-4x-10=0}\\{{y}^{2}=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=±2}\end{array}\right.$，
∴漸近線方程為：y=$±\frac{2}{3}$x．
2a=12，解得a=6．
當焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0）．
∴$\frac{a}$=$\frac{2}{3}$，∴b=4．
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
同理可得：當焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．

點評 本題考查了曲線的交點、雙曲線的標準方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．