Question

4．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，底面邊長和側(cè)棱長均為2，D，D₁分別是BC，B₁C₁的中點．
（1）求證：AD⊥C₁D；
（2）求證：平面ADC₁∥平面A₁D₁B．

Answer 1

分析 （1）線面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)面面平行的判定定理證明即可．

解答 （1）證明：∵底面邊長均為2，D是BC中點，∴AD⊥BC-----------------（1分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB₁---------------（2分）
∵BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，--------------（3分）
∵DC₁?面B₁BCC₁，
∴AD⊥DC₁-----------（4分）
（2）證明：連結(jié)A₁C交于AC₁O，連結(jié)DO，如圖示：
∵O是正方形ACC₁A₁對角線的交點
∴O為A₁C中點
∵D是BC的中點
∴OD∥A₁B，且OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁--------------（6分）
∴A₁B∥平面ADC₁-------------------（7分）
∵D，D₁分別是BC，B₁C₁的中點，
∴AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁，
∴四邊形AA₁D₁D是平行四邊形
∴AD∥A₁D₁-----（9分）
∵A₁D₁?平面ADB₁，AD?平面ADB₁，
∴A₁D₁∥平面ADB₁---------（10分）
∵A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B-----------------（12分）

點評 本題考查了線面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．