Question

已知拋物線C：y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l₁：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)不過原點(diǎn)的直線l₂與l₁垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．

Answer 1

解析：　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，∴8²＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y²＝8x.

(2)直線l₂與l₁垂直，

故可設(shè)l₂：x＝y＋m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且直線l₂與x軸的交點(diǎn)為M.

由得y²－8y－8m＝0，

Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.

y₁＋y₂＝8，y₁y₂＝－8m，∴x₁x₂＝＝m².

由題意可知OA⊥OB，即x₁x₂＋y₁y₂＝m²－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，

∴l₂：x＝y＋8，M(8,0)，

故S_△FAB＝S_△FMB＋S_△FMA＝·|FM|·|y₁－y₂|

＝3 ＝24.