Question

討論直線l∶y＝kx＋1與雙曲線C∶x²－y²＝1的公共點的個數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：聯(lián)立直線與雙曲線的方程消去y，得(1－k2)x2－2kx－2＝0． 　　當k＝±l時，x＝±1； 　　當k≠±1時，△＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2．由△＞0得－＜k＜；△＝0得k＝±；△＜0得k＞或k＜－． 　　故當k∈(－∞，－)∪(，＋∞)時，l與C相離，沒有公共點； 　　當k＝±時，l與C相切于一點； 　　當k＝±1時，l與C相交于一點； 　　當k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)時，l與C相交于兩點． 　　分析：直線與圓錐曲線有無公共點的問題，實際上就是相應方程組有無實數(shù)解的問題． 　　點評：該題討論了過定點(0，1)的直線系與等軸雙曲線C的位置關系．分類討論要層次分明，不重不漏．本題首先根據(jù)關于x的方程的二次項系數(shù)是否為零分兩大類，當二次項系數(shù)非零時，又按判別式△分成三種情況．在下結(jié)論時，是根據(jù)公共點的個數(shù)分成三類的．同樣是兩個交點，但兩個交點分別在雙曲線的左、右支上或在一支上k的范圍不同，大家畫圖驗證一下，非常有益．