解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
,
依題意,f'(1)=1+2a-(3a+1)=0,解得a=0.
此時,f(x)=lnx-x+1,
.
因為x∈(0,+∞),令f'(x)>0,可得x∈(0,1);令f'(x)<0,可得x∈(1,+∞).
所以,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
因此,當(dāng)x=1時,f(x)取得最大值f(1)=0.
(Ⅱ)令
=
=
,
由(Ⅰ)中的結(jié)論可知,lnx-x+1<0對任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,即lnx<x-1(*)恒成立.
(。┤绻鹸
1,x
2∈(0,1),且x
1≠x
2,則
.
根據(jù)(*)可得
,
.
若f(x)滿足性質(zhì)①,則
恒成立,
于是
對任意x
1,x
2∈(0,1)且x
1≠x
2恒成立,所以
.
(ⅱ)如果x
1,x
2∈(1,+∞)且x
1≠x
2,則
.
根據(jù)(*)可得
?
,
則F(x
1,x
2)<
.若f(x)滿足性質(zhì)②,則
恒成立.
于是
對任意x
1,x
2∈(1,+∞)且x
1≠x
2恒成立,所以a
.
綜合(。áⅲ┛傻茫琣=
.
分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)f′(x),由題意f'(1)=0,解出可得a值,在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0,f'(x)<0,可得f(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得其最大值;
(Ⅱ)令
=
,由(Ⅰ)中的結(jié)論可得對任意x∈(0,1)∪(1,+∞),lnx<x-1(*)恒成立.(ⅰ)如果x
1,x
2∈(0,1),且x
1≠x
2,則
.根據(jù)(*)可得
,
.由性質(zhì)①轉(zhuǎn)化為恒成立問題,可得a的范圍;(ⅱ)如果x
1,x
2∈(1,+∞)且x
1≠x
2,則
.再根據(jù)(*)進(jìn)行放縮,由性質(zhì)②可得恒成立問題,由此可得a的范圍,綜合(i)(ii)可得a的范圍;
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題,考查恒成立問題,考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力,解決(Ⅱ)問的關(guān)鍵是借助(Ⅰ)中的結(jié)論得到恰當(dāng)不等式.