Question

已知函數f（x）滿足f（x）=4x²+2x+1．
（1）設g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）設h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為f（x）=4x²+2x+1，
所以g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3，
因為g（x）是開口方向向上、對稱軸為x=1的二次函數，
所以g（x）在[-2，1]上單調遞減，在[1，5]上單調遞增，
所以其最小值為g（1）=-1，最大值為g（5）=63，
所以函數g（x）在[-2，5]上的值域為[-1，63]．
（2）由題意可得：h（x）=f（x）-mx=4x²+2x+1-mx=4x²+（2-m）x+1，
所以h（x）是開口方向向上、對稱軸為x==的二次函數，
因為h（x）在[2，4]上是單調函數，所以，即m≤18或m≥34，
所以m的取值范圍是（-∞，18]∪[34，+∞）．
分析：（1）根據已知寫出g（x）的解析式，判斷所給區(qū)間上的單調性再求最值即可得到值域；
（2）寫出h（x）的解析式，數形結合求解m的取值．
點評：本題考察二次函數的單調性、值域，解答時要注意數形結合，屬基礎題．