Question

已知A，B，C是橢圓W：＋y²＝1上的三個點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

(1)   (2) 不可能,理由見解析

解：(1)橢圓W：＋y²＝1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．
因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．
所以可設(shè)A(1，m)，
代入橢圓方程得＋m²＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面積是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：
假設(shè)四邊形OABC為菱形．
因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，
所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
消y并整理得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.
設(shè)A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中點(diǎn)為M.
因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，
所以直線OB的斜率為－.
因?yàn)閗·≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形．