Question

【題目】已知圓C：（x+1）2+y2=20，點(diǎn)B（l，0）．點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程；
（2）設(shè) ，N為拋物線C2：y=x2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線Cl于P，Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，

點(diǎn)P滿足

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓，其中 ，2c=2

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為 ．

（2）解：設(shè)N（t，t2），則PQ的方程為：y﹣t2=2t（x﹣t），

整理，得y=2tx﹣t2，

聯(lián)立方程組 ，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，

有 ，

而 ，

點(diǎn)M到PQ的高為 ，

由 代入化簡(jiǎn)得：

即 ；

當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí)，S△MPQ可取最大值 ．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x=t，S△MPQ= ．

∴S△MPQ最大值 ．

【解析】（1）由已知可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓，其中 ，2c=2，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程．（2）設(shè)N（t，t2），則PQ的方程為y=2tx﹣t2 ， 聯(lián)立方程組 ，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出三角形面積的最大值．