Question

11．設函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果對所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，利用導數(shù)和函數(shù)單調性的關系即可求出；
（Ⅱ）分離參數(shù)，a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，構造函數(shù)h（x）=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求導，再構造函數(shù)m（x）=x-xlnx-1，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
當x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）單調遞增．
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≤ax?a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），
則h′（x）=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x-xlnx-1）}{{x}^{3}}$，
令m（x）=x-xlnx-1，（x≥1），
則m′（x）=-lnx，
當x≥1時，m′（x）≤0，
于是m（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
從而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，
于是h（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
所以當x=1時h（x）有最大值h（1）=1，
故a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用