Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，上底CD=3，下底AB=4，E、F分別為AB、CD中點(diǎn)，分別沿DE、CE把△ADE與△BCE折起，使A、B重合于點(diǎn)P．

（1）求證：PE⊥CD；
（2）若點(diǎn)P在面CDE的射影恰好是點(diǎn)F，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：連接PF，∵F、E分別是等腰梯形上、下兩底的中點(diǎn)，∴EF⊥CD．
又∵AD=BC，即PD=PC且F為CD的中點(diǎn)，∴PF⊥CD．
又EF，PF?面PEF，EF∩PF=F，∴CD⊥面PEF．
又PE?面PEF，∴PE⊥CD．
（2）解：若點(diǎn)P在面CDE的射影恰好是點(diǎn)F，即PF⊥面CDE于F，EF?面CDE，所以，PF⊥EF
設(shè)EF=x，由已知EF為等腰梯形的高，且PE⊥CF
∵PE=BE=AB=2，∴PF=
∵CF=CD=，∴PC==
在等腰梯形ABCD中，BC==
∵PC=BC，∴=，∴x=，
∴EF的長為．
分析：（1）連接PF，證明CD⊥面PEF，利用線面垂直的性質(zhì)，可得PE⊥CD；
（2）證明PF⊥面CDE于F，可得PF⊥EF，分別計(jì)算PC，BC，利用PC=BC，即可求EF的長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線線垂直，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．