Question

7．設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=$\frac{ax}{1+x}$（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，則a的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 由f（x）≥g（x）轉化為（x+1）ln（x+1）-ax≥0，令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，對h（x）求導，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值進行求解即可．

解答 解：∵f（x）≥g（x），
∴l(xiāng)n（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$，
即（x+1）ln（x+1）-ax≥0成立，
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
對函數(shù)h（x）求導數(shù)：h′（x）=ln（x+1）+1-a
令h′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當a≤1時，對所有x＞0≥e^a-1-1，h′（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又h（0）=0，所以對x≥0，都有h（x）≥h（0），
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當a＞1時，對于0＜x＜e^a-1-1，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，e^a-1-1）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對0＜x＜e^a-1-1，都有h（x）＜h（0），
即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查了導數(shù)在最大值最小值問題中的應用，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，題目難度較大．