Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在直線l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）設b_n=a_n+1，求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n項和．

Answer 1

解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）在直線l：2x-y+1=0上．
所以2a_n-a_n+1+1=0，即2a_n+2=a_n+1+1，
所以{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
a_n=2ⁿ-1，
b_n=a_n+1=2ⁿ，
=2
所以{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設C_n=n（3a_n+2）=3n×2ⁿ-n，
{C_n}的前n項和．，
令T=3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ，…①，
所以2T=3×2²+3×2×2³+3×3×2⁴+…+3×n×2ⁿ⁺¹…②，
①-②得：-T=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹），
T=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6，
所以．
分析：（Ⅰ）利用已知條件得到{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出a_n，通過b_n=a_n+1，利用等比數(shù)列的定義證明{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出C_n=n（3a_n+2），利用錯位相減法求出3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ的和，然后求出{C_n}的前n項和．
點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，通項公式的求法，前n項和的求法，錯位相減法的應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．