17.已知橢圓C的中心為O,兩焦點(diǎn)為F1、F2,M是橢圓C上一點(diǎn),且滿足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{MO}$|=2|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|,則橢圓的離心率e=( 。
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

分析 由已知可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,進(jìn)而在△F1OM中,|F1O|=c,|F1M|=$\frac{4}{3}$a,|OM|=$\frac{2}{3}$a,在△OF2M中,
|F2O|=c,|M0|=|F2M|=$\frac{2}{3}$a,由∠MOF1=180°-∠MOF2得:cos∠MOF1+cos∠MOF2=0,結(jié)合余弦定理,化簡(jiǎn)整理,再由離心率公式計(jì)算可得答案.

解答 解:∵$\frac{1}{2}$|MF1|=|MO|=|MF2|,
由橢圓定義可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,
即|MF2|=$\frac{2}{3}$a,|MF1|=$\frac{4}{3}$a,
在△F1OM中,|F1O|=c,|F1M|=$\frac{4}{3}$a,|OM|=$\frac{2}{3}$a,
則cos∠MOF1=$\frac{{c}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}-\frac{16}{9}{a}^{2}}{2c•\frac{2}{3}a}$=$\frac{3{c}^{2}-4{a}^{2}}{4ac}$,
在△OF2M中,|F2O|=c,|M0|=|F2M|=$\frac{2}{3}$a,
則cos∠MOF2=$\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}{2c•\frac{2}{3}a}$=$\frac{3c}{4a}$,
由∠MOF1=180°-∠MOF2得:cos∠MOF1+cos∠MOF2=0,
即為$\frac{3{c}^{2}-4{a}^{2}}{4ac}$+$\frac{3c}{4a}$=0,
整理得:3c2-2a2=0,
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$,即e2=$\frac{2}{3}$,
即有e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),主要考查離心率的求法,構(gòu)造關(guān)于a,c的方程是解答的關(guān)鍵,難度中檔.

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