Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

3an

2an+1

，知

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，故

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，由此能夠求出{a_n}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由an=

3n

3 n+2

＞0，知

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

-x)=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an，由此能夠證明對(duì)任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．．

解答：（Ⅰ）解：∵an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

an

-1=

2

3

，
∴(

1

an

-1)是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列． 
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3 n-1

=

2

3 n

，
∴an=

3n

3n+2

．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知an=

3n

3 n+2

＞0，

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

-x)
=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

+1-1-x)
=

1

1+x

-

1

(1+x)2

[

1

an

-(1+x)]
=-

1

an

•

1

(1+x)2

+

2

1+x

=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an
≤a_n，
∴對(duì)任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，具體涉及到數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列與不等式的應(yīng)用．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．