Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長均相等，E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，A₁C₁的中點，截面EBCF將三棱柱截成幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ兩個幾何體．
①求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比；
②求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知幾何體Ⅰ是一個三棱臺，側面積等于5個側面面積的和，幾何體Ⅱ也有5個面，側面積等于5個側面面積的和，將這兩個幾何體的表面積相除，可得結果．
（2） 幾何體Ⅰ是一個三棱臺，其體積由面積公式可求得；幾何體Ⅱ的體積用整個三棱柱的體積減去幾何體Ⅰ的體積可得，計算這兩個幾何體的體積之比．
解答：解：（1）設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長均為1，由三角形的中位線的性質得A₁EF的面積
為×（）=，BE==，
幾何體Ⅰ的全面積為 +2×（）+×1×1×+=．
幾何體Ⅱ的表面積為 1×1+2×（××1）+（×1×1×）+=，
 故求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比為：．
（2） 幾何體Ⅰ是一個三棱臺，其體積為 ×（++）×1=，
幾何體Ⅱ的體積為×1-=，
故幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比為：．
點評：本題考查棱柱、棱臺的表面積、體積的計算方法，以及用間接方法求出不規(guī)則幾何體的體積．