Question

（2006•西城區(qū)二模）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，A、F分別是雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交雙曲線的右支于P、Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，AP、AQ分別交右準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)．
（1）若

RQ

=5

QF

，求直線l的斜率；
（2）證明：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為-

4

3

a2．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的離心率、向量關(guān)系即可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入雙曲線的方程即可得出；
（2）分別求出AP，AQ與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再把直線PQ的方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出．

解答：（1）解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵雙曲線的離心率為

3

，
∴c=

3

a，b=

2

a，
∴雙曲線方程為2x²-y²=2a²，
∵

RQ

=5

QF

，∴x2=

5

6

c，
∵直線l：y=k（x-c），∴y2=-

ck

6

，
點(diǎn)Q是雙曲線上一點(diǎn)，∴2(

5c

6

)2-(-

ck

6

)2=2a2，
整理得，

50

36

e2-

1

36

e2k2=2，解得k=±

26

．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由已知AP：y=

y1

x1+a

(x+a)，AQ：y=

y2

x2+a

(x+a)，
∴yM=

y1

x1+a

(

a2

c

+a)，yN=

y2

x2+a

(

a2

c

+a)，
∴yMyN=

y1

x1+a

•

y2

x2+a

(

a2

c

+a)2=

y1y2

x1x2+a(x1+x2)+a2

(

a2

c

+a)2，
由

y=k(x-c) 2x2-y2=2a2

，得（2-k²）x²+2k²cx-k²c²-2a²=0
∴x1+x2=

2k2c

k2-2

，x1x2=

k2c2+2a2

k2-2

，y1y2=k2(x1-c)(x2-c)=k2[x1x2-c(x1+x2)+c2]=k2

2a2-2c2

k2-2

，
x1x2+a(x1+x2)+a2=k2

(a+c)2

k2-2

，
∴yMyN=

2(a2-c2)

(a+c)2

•

a2(a+c)2

c2

=-

4

3

a2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵．