Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x-3}$的定義域為M．
（1）求f（x）的定義域M；
（2）求當x∈M時，求函數(shù)g（x）=4^x-a•2^x+1（a為常數(shù)，且a∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根式的被開方式非負，列出不等式求出解集即可；
（2）由x∈M時，求出2^x的取值范圍，由此討論a的取值，從而求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x-3}$，
∴-x²+4x-3≥0，
即（x-1）（x-3）≤0，
解得1≤x≤3，
∴f（x）的定義域M=[1，3]；
（2）當x∈M時，即x∈[1，3]，∴2^x∈[2，8]．
∴函數(shù)g（x）=4^x-a•2^x+1=（2^x）²-2a•2^x=（2^x-a）²-a²；
當a≤2時，g（x）在x∈[1，3]上是增函數(shù)，
∴g（x）的最小值是g（1）=4-4a；
當2＜a＜8時，g（x）在x∈[1，3]上先減后增，
∴g（x）的最小值是-a²；
當a≥8時，g（x）在x∈[1，3]上是減函數(shù)，
∴g（x）的最小值是g（3）=64-16a；
則有${g_{min}}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4-4a（a≤2）}\\{-{a^2}（2＜a＜8）}\\{64-16a（a≥8）}\end{array}}\right.$

點評 本題考查了求函數(shù)的定義域和最小值的求法，也考查了分類討論思想的應用，是綜合性題目．