Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若x1=-

1

3

，x2=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

3

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)可知 -

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，利用韋達(dá)定理建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)條件 |x1|+|x2|=2

3

建立b²關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出b的最大值

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有-

1

3

和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根
∴

- 2b 3a = 2 3 - a 3 =- 1 3

解得

a=1 b=-1

，∴f（x）=x³-x²-x．（經(jīng)檢驗(yàn)，適合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，∵x₁x₂=-

a

3

＜0且 |x1|+|x2|=2

3

，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=12，∴b²=3a²（9-a）
∵b²≥0∴0＜a≤9．
設(shè)p（a）=3a²（9-a），則p'（a）=54a-9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，6]上是增函數(shù)，在區(qū)間[6，9]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=6時(shí)，p（a）有極大值為324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值為18．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．