Question

3．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A、B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=60°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，
由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1，即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為1．
故選C．

點評 本題著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．