Question

已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求tanθ的值；
（Ⅱ）若（

OA

+2

OB

）•

OC

=1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sinθ+cosθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）用坐標(biāo)表示

AC

、

BC

，及|

AC

|=|

BC

|并化簡(jiǎn)，得出tanθ的值；
（Ⅱ）用坐標(biāo)表示

OA

、

OB

、

OC

，以及（

OA

+2

OB

）•

OC

=1，化簡(jiǎn)即得sinθ+cosθ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）；
∴

AC

=（2sinθ-1，cosθ），

BC

=（2sinθ，cosθ-1）；
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(2sinθ-1)2+cos2θ

=

(2sinθ)2+(cosθ-1)2

；
化簡(jiǎn)得2sinθ=cosθ，
∵cosθ≠0（若cosθ=0，則sinθ=±1，上式不成立），
∴tanθ=

1

2

．
（Ⅱ）∵

OA

=（1，0），

OB

=（0，1），

OC

=（2sinθ，cosθ），
∴

OA

+2

OB

=（1，2）；
∵（

OA

+2

OB

）•

OC

=1，
∴2sinθ+2cosθ=1，
∴sinθ+cosθ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，解題時(shí)先用坐標(biāo)表示向量，是基礎(chǔ)題．