Question

設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，．

(Ⅰ) 求的取值范圍；

(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的取值范圍是．(Ⅱ) 的最大值是．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804223783404170/SYS201403080423158496415578_DA.files/image006.png">，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804223783404170/SYS201403080423158496415578_DA.files/image008.png">和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以、就是方程有兩個(gè)不等的正根（其中）．由此可求得的范圍故，并且可找到、與之間的關(guān)系，從而可以用表示出來，這樣根據(jù)的范圍便可求出 的范圍.

(Ⅱ) 首先是怎樣的一個(gè)式子？

.

.這個(gè)式子中的都是變量，能否變成一個(gè)？

由題設(shè)可得，這樣，由此可令，從而

.接下來就根據(jù)的范圍求出的范圍，進(jìn)而求出 的范圍．

試題解析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804223783404170/SYS201403080423158496415578_DA.files/image006.png">，．  1分

依題意，方程有兩個(gè)不等的正根，（其中）．故

，              3分

并且 ．

    所以，

    故的取值范圍是．               6分

(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí)，．若設(shè)，則

．

于是有

構(gòu)造函數(shù)（其中），則．

所以在上單調(diào)遞減，．

故的最大值是．                  14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系.