Question

12．如圖，邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O．
（1）求證：BC₁∥平面AA₁D₁D；
（2）求證：BC₁⊥平面B₁DC；
（3）求四面體B₁-BDC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體得出BC₁∥AD₁，再運(yùn)用判定定理可證明；
（2）由四邊形BCC₁B₁是正方形可證，BC₁⊥B₁C，然后可證A₁B₁⊥BC₁，根據(jù)線面垂直的平判定定理可證；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求四面體B₁-BDC₁的體積．

解答 （1）證明：連接D₁A，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABC₁D₁是平行四邊形
∴BC₁∥AD₁，
∵BC₁?平面AA₁D₁D；AD₁?平面AA₁D₁D，
∴BC₁∥平面AA₁D₁D；
（2）證明：由題意四邊形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BC₁．
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中${S}_{△B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}B{B}_{1}•{B}_{1}{C}_{1}$=2，
點(diǎn)D到平面BB₁C₁的距離等于D到平面BB₁C₁C的距離為2，
∴${V}_{{B}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{D-B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查空間直線與平面的平行、垂直的判定，考查求四面體B₁-BDC₁的體積，屬于中檔題．