Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，有下列命題：
（1）若數(shù)列{a_n}的極限存在但不為零，則數(shù)列{S_n}的極限一定不存在；
（2）無窮數(shù)列{S_2n}、{S_2n-1}的極限均存在，則數(shù)列{S_n}的極限一定存在；
（3）若{a_n}是等差數(shù)列（公差d≠0），則S₁•S₂•…•S_k=O的充要條件是a₁•a₂•…•a_k=O；
（4）若{a_n}是等比數(shù)列，則S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）的充要條件是a_n+a_n+1=0．
其中，錯誤命題的序號是（　�。�

• A、（1）（2）
• B、（2）（3）
• C、（3）（4）
• D、（1）（4）

Answer 1

考點：極限及其運算,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）用反證法：假設數(shù)列{S_n}的極限存在，得到

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(Sn-Sn-1)=0，得出矛盾．
（2）若無窮數(shù)列{S_2n}、{S_2n-1}的極限均存在，但是不相等，則數(shù)列{S_n}的極限一定不存在．
（3）例如：等差數(shù)列：6，4，2，0，-2，-4，-6．a₁a₂a₃a₄=0推不出S₁S₂S₃S₄=0；
同樣對于等差數(shù)列：6，2，-2，-6．S₁S₂S₃S₄=0，推不出a₁a₂a₃a₄=0．
（4）{a_n}是等比數(shù)列，a_n+a_n+1=0?a_n（1+q）=0（q為公比）?q=-1?Si=

a1[1-(-1)i]

2

=0，當i為偶數(shù)時?S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）．

解答： 解：（1）假設數(shù)列{S_n}的極限存在，則

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

Sn-1，∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(Sn-Sn-1)=

lim

n→∞

Sn-

lim

n→∞

Sn-1=0，則與數(shù)列{a_n}的極限存在但不為零相矛盾，因此數(shù)列{S_n}的極限一定不存在正確；
（2）若無窮數(shù)列{S_2n}、{S_2n-1}的極限均存在，但是不相等，則數(shù)列{S_n}的極限一定不存在，否則矛盾；
（3）舉反例：等差數(shù)列：6，4，2，0，-2，-4，-6．a₁a₂a₃a₄=0推不出S₁S₂S₃S₄=0；
同樣對于等差數(shù)列：6，2，-2，-6．S₁S₂S₃S₄=0，推不出a₁a₂a₃a₄=0．
因此對于：{a_n}是等差數(shù)列（公差d≠0），則S₁•S₂•…•S_k=O是a₁•a₂•…•a_k=O既不充分也不必要條件；因此不正確．
（4）∵{a_n}是等比數(shù)列，a_n+a_n+1=0?a_n（1+q）=0（q為公比）?q=-1?Si=

a1[1-(-1)i]

2

=0，當i為偶數(shù)時?S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）．正確．
綜上可知：只有（2）（3）是錯誤的．

點評：本題考查了數(shù)列極限問題、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，屬于難題．