若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,有下列命題:
(1)若數(shù)列{an}的極限存在但不為零,則數(shù)列{Sn}的極限一定不存在;
(2)無窮數(shù)列{S2n}、{S2n-1}的極限均存在,則數(shù)列{Sn}的極限一定存在;
(3)若{an}是等差數(shù)列(公差d≠0),則S1•S2•…•Sk=O的充要條件是a1•a2•…•ak=O;
(4)若{an}是等比數(shù)列,則S1•S2•…•Sk=O(k≥2)的充要條件是an+an+1=0.
其中,錯誤命題的序號是( 。
A、(1)(2)
B、(2)(3)
C、(3)(4)
D、(1)(4)
考點:極限及其運算,數(shù)列的概念及簡單表示法
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)用反證法:假設(shè)數(shù)列{Sn}的極限存在,得到
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(Sn-Sn-1)
=0,得出矛盾.
(2)若無窮數(shù)列{S2n}、{S2n-1}的極限均存在,但是不相等,則數(shù)列{Sn}的極限一定不存在.
(3)例如:等差數(shù)列:6,4,2,0,-2,-4,-6.a(chǎn)1a2a3a4=0推不出S1S2S3S4=0;
同樣對于等差數(shù)列:6,2,-2,-6.S1S2S3S4=0,推不出a1a2a3a4=0.
(4){an}是等比數(shù)列,an+an+1=0?an(1+q)=0(q為公比)?q=-1?Si=
a1[1-(-1)i]
2
=0,當i為偶數(shù)時?S1•S2•…•Sk=O(k≥2).
解答: 解:(1)假設(shè)數(shù)列{Sn}的極限存在,則
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
Sn-1
,∴
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(Sn-Sn-1)
=
lim
n→∞
Sn-
lim
n→∞
Sn-1
=0,則與數(shù)列{an}的極限存在但不為零相矛盾,因此數(shù)列{Sn}的極限一定不存在正確;
(2)若無窮數(shù)列{S2n}、{S2n-1}的極限均存在,但是不相等,則數(shù)列{Sn}的極限一定不存在,否則矛盾;
(3)舉反例:等差數(shù)列:6,4,2,0,-2,-4,-6.a(chǎn)1a2a3a4=0推不出S1S2S3S4=0;
同樣對于等差數(shù)列:6,2,-2,-6.S1S2S3S4=0,推不出a1a2a3a4=0.
因此對于:{an}是等差數(shù)列(公差d≠0),則S1•S2•…•Sk=O是a1•a2•…•ak=O既不充分也不必要條件;因此不正確.
(4)∵{an}是等比數(shù)列,an+an+1=0?an(1+q)=0(q為公比)?q=-1?Si=
a1[1-(-1)i]
2
=0,當i為偶數(shù)時?S1•S2•…•Sk=O(k≥2).正確.
綜上可知:只有(2)(3)是錯誤的.
點評:本題考查了數(shù)列極限問題、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式,屬于難題.
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指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)對于任意的x1、x2∈R,都有f(x1)f(x2
 
f(x1+x2).(填“>”,“<”或“=”)

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若曲線y=
4-x2
與直線y=k(x-2)+3有兩個不同的公共點,則實數(shù)k的取值范圍是
 

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雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),以原點為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為A,若此圓在A點處切線的斜率為
3
3
,則雙曲線C的離心率為(  )
A、
3
+1
B、
6
C、2
3
D、
2

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下列命題
①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;
②“若a>b,則a2>b2”的逆否命題;
③“若x≤-3,則x2+x-6≥0”的否命題.
其中真命題個數(shù)為(  )
A、0B、1C、2D、3

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對任意兩個非零的平面向量
α
β
,定義
α
o
β
=
α
β
β
β
,若平面向量
a
、
b
滿足|
a
|>|
b
|>0,
a
b
夾角θ∈(0,
π
4
),且
a
o
b
b
o
a
都在集合{
n
3
|n∈Z}中,則
a
o
b
的取值個數(shù)最多為( 。
A、2B、4C、6D、8

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
ax+3 , (x≤1)
1
x
+1 ,  (x>1)
,滿足對任意定義域中的x1,x2(x1≠x2),[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0總成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-∞,0)
B、[-1,0)
C、(-1,0)
D、(-1,+∞),

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若x=
π
6
是f(x)=
3
sinωx+cosωx的圖象的一條對稱軸,則ω可以是( 。
A、4B、8C、2D、1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

雙曲線的離心率等于3,且與橢圓
x2
16
+
y2
7
=1
有相同的焦點,求此雙曲線方程.

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