Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)及右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)依次為O、F、G、H，當(dāng)

|FG|

|OH|

取得最大值時(shí)橢圓的離心率為

 

（用數(shù)字作答）．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，所以

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

c

a

∈（0，1），可求出

|FG|

|OH|

的最大值．

解答： 解：∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴橢圓的右焦點(diǎn)是F（c，0），右頂點(diǎn)是G（a，0），右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，其中c²=a²-b²．
由此可得H（

a2

c

，0），|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，
∴

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2=-（

c

a

-

1

2

）²+

1

4

，
∵

c

a

∈（0，1），
∴當(dāng)且僅當(dāng)

c

a

=

1

2

時(shí)，

|FG|

|OH|

的最大值為

1

4

．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求線段比值的最大值，著重考查了橢圓的基本概念的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．