Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx），$\overrightarrow$=（sinx，2$\sqrt{3}$cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若對任意滿足條件的A，不等式f（A）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積的公式，三角恒等變換求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦定理求得B的值，可得A的值，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的范圍，再利用函數(shù)的恒成立問題求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，根據2acosB=bcosC+ccosB，
由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1∈（0，3]．
∵不等式f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1＞m恒成立，故f（A）的最小值大于m．
而f（A）＞0恒成立，故m≤0．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調性；正弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．