Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-，0），求tan2x；
（2）設(shè)△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，試求f（B）的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），
∴f（x）==2cos²x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1
∵f（x）=0，∴sin（2x+）=-
∵x∈（-，0），∴2x+∈，），
∴2x+=-
∴x=-，
∴tan2x=-；
（2）∵△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，
∴b²=ac
由余弦定理可得：=≥
∴0＜B≤，
∴＜2B+≤
∴≤sin（2B+）≤1
∴2≤f（B）≤3．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用f（x）=0，可求x的值，進(jìn)而可得tan2x的值；
（2）根據(jù)△ABC的三邊a，b，c依次成等比數(shù)列，可得b²=ac，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可確定B的范圍，進(jìn)而可得f（B）的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)，考查等比數(shù)列，考查余弦定理與基本不等式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．