Question

18．已知f（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4），討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=e^x（x-2a）（x-2），分類(lèi)討論從而可得f（x）的單調(diào)性．

解答 解：∵f（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4），
∴f′（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4+2x-（2a+4））
=e^x（x²-（2a+2）x+4a）
=e^x（x-2a）（x-2），
①當(dāng)2a＜2，即a＜1時(shí)，
故當(dāng)x∈（-∞，2a）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（2a，2）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，2a），（2，+∞）上單調(diào)遞增，
在（2a，2）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)2a=2，即a=1時(shí)，
故當(dāng)x∈（-∞，2）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)2a＞2，即a＞1時(shí)，
故當(dāng)x∈（-∞，2）∪（2a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（2，2a）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，2），（2a，+∞）上單調(diào)遞增，
在（2，2a）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．