Question

19．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．
（1）求a₂、a₃、a₄；
（2）歸納猜想通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…），分別令n=1，2，3，即可得出；
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{1}{7}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=$\frac{1}{2k-1}$．
則當(dāng)n=k+1（k∈N^*）時(shí)，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
綜上①②可知：?n∈N^*，a_n=$\frac{1}{2n-1}$都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．