如圖,設拋物線方程為直線上任意一點,過M引拋物線的切線,切點分別為A,B。
(1)求證:A,M,B三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)已知當M點的坐標為時,,求此時拋物線的方程;
(3)是否存在點M,使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線上,其中,點C滿足(O為坐標原點).若存在,求出所有適合題意的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)證明:由題意設
由得,則
所以
因此直線MA的方程為直線MB的方程為
所以 ①; ②
由①-②得,而,因此
所以A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列.
(2)解:由(1)知,當x0=2時,
將其代入①、②并整理得:
所以 x1、x2是方程的兩根,
因此 又 所以
由弦長公式得:
又, 所以p=1或p=2,
因此所求拋物線方程為或
(3)解:設,由題意得
則CD的中點坐標為
設直線AB的方程為
由點Q在直線AB上,并注意到點也在直線AB上,
代入得
若在拋物線上,則
因此 x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或
(1)當x0=0時,則,此時,點M適合題意.
(2)當,對于D(0,0),此時
又AB⊥CD,所以
即矛盾.
對于因為此時直線CD平行于y軸,又
所以直線AB與直線CD不垂直,與題設矛盾,
所以時,不存在符合題意的M點.
綜上所述,僅存在一點M適合題意.
【解析】
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
10 |
OC |
OA |
OB |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
10 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆河南省許昌市五校高二下學期第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,設拋物線方程為,為直線上任意一點,過引拋物線的切線,切點分別為.
(1)求證:三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)已知當點的坐標為時,.求此時拋物線的方程。
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