Question

已知橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l，使直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，滿(mǎn)足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)和一個(gè)頂點(diǎn)A（0，-1）．因此可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．得到c，b，再利用a²=b²+c²即可．
（II）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l．設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，得到△＞0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線(xiàn)段MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀），得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)．由于|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，于是k_AP•k=-1即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1）．
∴可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∴c=

2

，b=1，
∴a²=b²+c²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）存在這樣的直線(xiàn)l．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 3 +y2=1

化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∵△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）得3k²-m²+1＞0…①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線(xiàn)段MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
于是x0=-

3km

1+3k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，則直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，P（0，0），不合題意．
若m≠0，由k≠0得，k_AP•k=-1得到

y0+1

x0

k=-1，整理得2m=3k²+1…②
由①②知，k²＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)與斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．