Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

是奇函數(shù)（a∈R）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將函數(shù)變形，再由奇函數(shù)探討f（-x）=-f（x），用待定系數(shù)法求解．
（Ⅱ）用定義求解，先在區(qū)間上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，要注意變形到位．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)．將f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0對任意t∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為2t²-（m-2）t-（m+1）＜0對任意t∈R恒成立．再用判別式法求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=

a2x+a-2

2x+1

∵f（x）是奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）
即

a2-x+a-2

2-x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

a+(a-2)2x

2x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

∴a-2=a，即a=1（4分）
即f(x)=1-

2

2x+1

（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂為區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)．
∵f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0
∴f（t²-（m-2）t）＜-f（t²-m-1）=f（-t²+m+1）
∴t²-（m-2）t＜-t²+m+1（13分）
即2t²-（m-2）t-（m+1）＜0對任意t∈R恒成立．
只需△=（m-2）²+4×2（m+1）=m²+4m+12＜0，
解之得m∈∅（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的判斷與證明以及用判別式求解恒成立問題．