Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E 為側棱PD的中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）若AD=2AB=2，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值；
（3）當為何值時，PB⊥AC？

Answer 1

（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，
因為O、E分別為BD、PD的中點，
所以EO∥PB，
因為E0?平面EAC，PB?平面EAC，
所以PB∥平面EAC．
（2）解：設N為AD中點，連接PN，BN，則PN⊥AD
又面PAD⊥底面ABCD，
所以PN⊥底面ABCD
所以∠PBN為直線PB與平面ABCD所成的角，
又AD=2AB=2，則PN=，
所以tan∠PBN=，
即PB與平面ABCD所成角正切為值
（3）由（2）知，NB為PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC．
在矩形ABCD中，設AD=1，AB=x，，
由∠ANB=∠BAC，得Rt△NAB∽Rt△CBA，

解之得：，
所以，當=時，PB⊥AC．
分析：（1）要證PB∥平面EAC，根據線面平行的判定定理，只需證明PB平行于平面EAC中的一條直線．連接BD交AC于O，連接EO，因為O、E分別為BD、PD的中點，根據三角形的中位線的性質，可知EO∥PB，從而問題得證；
（2）設N為AD中點，連接PN，BN，則PN⊥AD，從而可得∠PBN為直線PB與平面ABCD所成的角，進而可求PB與平面ABCD所成角正切值；
（3）由（2）知，NB為PB在面ABCD上的射影，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，利用Rt△NAB∽Rt△CBA，可求得=時，PB⊥AC．
點評：本題考查的重點是線面垂直的判定，面面垂直的性質，線面角，解題的關鍵是正確運用線面垂直的判定，正確作出線面角，有綜合性．