Question

在環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽中，甲、乙、丙同時(shí)回答一道有關(guān)水體凈化知識(shí)的問(wèn)題，甲答對(duì)的概率是

3

4

，甲、丙兩人都打錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對(duì)的概率是

1

4

．
求：（1）乙、丙兩人各自答對(duì)這道題目的概率．
（2）（理做）答對(duì)這道題目的人數(shù)的隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有兩人答對(duì)這道題目的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出乙和丙答對(duì)的概率，根據(jù)甲答對(duì)的概率是

3

4

，甲、丙兩人都打錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對(duì)的概率是

1

4

，列出關(guān)于兩個(gè)概率的關(guān)系式，就方程組即可．
（2）（理）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和期望值．
（文）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對(duì)這道題目包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式寫(xiě)出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)乙、丙各自答對(duì)的概率分別是P₁、P₂，
根據(jù)題意得：

(1- 3 4 )×(1-P2)= 1 2 ;P1×P2= 1 4

，解得：P₁=

3

8

．P₂=

2

3

；           
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

，
P（ξ=1）=

3×5×1+1×3×1+1×5×2

96

=

7

24

；              （9分）
P（ξ=2）=

3×3×1+3×5×2+1×3×2

96

=

15

32

，
P（ξ=3）=

3×3×2

96

=

3

16

所以ξ的分布列為                                      （10分）

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

5

96

+1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．（12分）
（文科）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對(duì)這道題目包括四種情況，
這四種情況是互斥的，
∴P=

3

8

×

2

3

×

1

4

+

3

8

×

1

3

×

3

4

+

1

8

×

2

3

×

3

4

+

3

8

×

2

3

×

3

4

=

13

32

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，本題解題的關(guān)鍵是注意數(shù)字的運(yùn)算不要出錯(cuò)，因?yàn)轭}目中出現(xiàn)的數(shù)字較多．