Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=2，又$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow4sfr19h$=$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowtezvz2z$，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-3$，根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}$便可求出$|\overrightarrow{a}|$，同理可求出$|\overrightarrow|$，這樣根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{c}=（2t+3）\overrightarrow{m}+（t-1）\overrightarrow{n}$，而根據(jù)$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowrppiuki$便有$\overrightarrow{c}•\overrightarrowbms6m3p=[（2t+3）\overrightarrow{m}+（t-1）\overrightarrow{n}]•[（t-1）\overrightarrow{n}]=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出t的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）$=$-6{\overrightarrow{m}}^{2}-\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}$=-6-1•2•cos60°+4=-3；
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{m}}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}}$=$\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{9-6+4}=\sqrt{7}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-3}{2\sqrt{3}•\sqrt{7}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}$；
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦為$-\frac{\sqrt{21}}{14}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{c}=t（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）-（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）=（2t+3）\overrightarrow{m}$$+（t-1）\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow7grwthe$；
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow4j00xin=（2t+3）{\overrightarrow{m}}^{2}-（t+4）\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}-（t-1）{\overrightarrow{n}}^{2}$=2t+3-t-4-4t+4=0；
∴t=1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，求向量長度的方法：根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，向量夾角的余弦公式，向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算，向量垂直的充要條件．