函數(shù)f（x）=
ax2+1，x≥0
(a2-1) eax，x＜0
在（-∞，+∞）上單調(diào)，則a的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-
2
]∪（1，
2
]
B、[-
2
，-1）∪[
2
，+∞）
C、（1，
2
]
D、[
2
，+∞）
分析：分情況討論函數(shù)的單調(diào)性①當函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減時，分區(qū)間使函數(shù)在每個區(qū)間上都單調(diào)遞減，再保證（a2-1）ea×0≥a×02+1，解出a的范圍去交集即可．②當函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增時，類比單調(diào)遞減求解即可．最后將上面a的范圍去并集即可得到答案．
解答：解：當函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減時，
當x≥0時f（x）=ax2+1是單調(diào)遞減函數(shù)，所以a＜0．
當x＜0時f（x）=（a2-1）eax是單調(diào)遞減函數(shù)，所以f′（x）=a（a2-1）eax≤0
因為a＜0，所以a≤-1．
當a=-1時f（x）=0不具有單調(diào)性，所以a=-1舍去．所以a＜-1．
又因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以（a2-1）ea×0≥a×02+1解得a≤-
2
或a≥
2
．
由以上可得a≤-
2
．
當函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增時，
當x≥0時f（x）=ax2+1是單調(diào)遞增函數(shù)，所以a＞0．
當x＜0時f（x）=（a2-1）eax是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f′（x）=a（a2-1）eax≥0
因為a＞0，所以a≥1．
當a=1時f（x）=0不具有單調(diào)性，所以a=1舍去．所以a＞1．
又因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)增減，所以（a2-1）ea×0≤a×02+1解得-
2
≤a≤
2
．
由以上可得1＜a≤
2
．
綜上所述可得a≤-
2
或1＜a≤
2
．
故選A．
點評：解決這種分段函數(shù)單調(diào)性問題的關(guān)鍵是先分區(qū)間保證函數(shù)單調(diào)遞減或遞增，再保證最值之間滿足大小關(guān)系即可．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b是常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應x值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=
1
4
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然對數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b，c（a≠0）滿足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)與0的大小關(guān)系是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實數(shù)），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案