Question

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中點分別是E，F(xiàn)，G，H，如圖所示．
（Ⅰ）求證：AD'∥平面EFG；
（Ⅱ）求證：A'C⊥平面EFG；
（Ⅲ）判斷點A，D'，H，F(xiàn)是否共面？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正方體的性質(zhì)以及題中的條件，證明FG∥AD'，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得AD'∥平面EFG．
（Ⅱ）利用直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明BC'⊥A'C，A'C⊥EF，從而證明A'C⊥平面EFG．
（Ⅲ）點A，D'，H，F(xiàn)不共面，用反證法證明如下：假設(shè)A，D'，H，F(xiàn)共面，由（Ⅰ）可證得C'F∥BC'，而C'F與BC'相交，這是矛盾的，故假設(shè)不對．
解答：（Ⅰ）證明：連接BC'，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'．
所以，四邊形ABC'D'是平行四邊形，所以，AD'∥BC'．
因為 F，G分別是BB'，B'C'的中點，所以 FG∥BC'，所以，F(xiàn)G∥AD'．
因為 EF，AD'是異面直線，所以，AD'?平面EFG．
因為 FG?平面EFG，所以，AD'∥平面EFG．
（Ⅱ）證明：連接B'C，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'?平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．
在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，
因為 A'B'?平面A'B'C，B'C?平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．
因為  A'C?平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C．
因為 FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可證：A'C⊥EF．
因為 EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG．
（Ⅲ）點A，D'，H，F(xiàn)不共面．理由如下：
假設(shè)A，D'，H，F(xiàn)共面．連接C'F，AF，HF．
由（Ⅰ）知，AD'∥BC'，因為 BC'?平面BCC'B'，AD'?平面BCC'B'，所以，AD'∥平面BCC'B'．
因為 C'∈D'H，所以，平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F．
因為 AD'?平面AD'HF，所以 AD'∥C'F．
所以，C'F∥BC'，而C'F與BC'相交，矛盾．
所以，點A，D'，H，F(xiàn)不共面．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用；直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．