Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=2an，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式表示出相應的項，待定系數(shù)法設出公差，根據(jù)a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列列出關于公差的方程，通過求解該方程求出公差，進而寫出該數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式寫出數(shù)列{b_n}的通項公式嗎，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求出其前n項和．

解答：解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，得a₃²=a₁•a₁₃，
即（1+2d）²=1+12d
得d=2或d=0（舍去）．故d=2，
所以a_n=2n-1
（2）∵bn=2an=22n-1，
所以數(shù)列{b_n}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列．
∴S_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)

點評：本題考查待定系數(shù)法，考查學生對等差數(shù)列通項公式的理解能力，要求學生掌握等比數(shù)列的結構特征，能判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出該數(shù)列的前n項和．