Question

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（2）若，使成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）.

解析試題分析：(1) 根據(jù)原函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)小于等于零恒成立，再把恒成立轉(zhuǎn)化為最值求解，在求解的過程中利用了二次三項式的配方；(2)命題的等價變換是解決本小題的關(guān)鍵，“若使成立”等價于 “當(dāng)時，有”，于是整個問題就化為求函數(shù)的最值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值。
試題解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.
(1)函數(shù),    2分
因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．
所以當(dāng)時，．
又，
故當(dāng)，即時，．
所以于是，故a的最小值為．              6分
(2)命題“若使成立”等價于 “當(dāng)時，有”．
由（Ⅱ），當(dāng)時，，． 
問題等價于：“當(dāng)時，有”．               8分
 當(dāng)時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，
則=，故．                 10分
 當(dāng)時，由于在上為增函數(shù)，
故的值域為，即．
由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：
當(dāng)時，，為減函數(shù)；
當(dāng)時，，為增函數(shù)；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．    11分
綜上，得．      12分
考點：1.導(dǎo)數(shù)公式；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.恒成立問題；4.函數(shù)的最值以及命題的等價變換.