Question

（2012•道里區(qū)三模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過點A的直線，且∠PAC=∠ABC．
（Ⅰ） 求證：PA是⊙O的切線；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于點E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB為直徑，知∠ACB=

π

2

，∠CAB+∠ABC=

π

2

，由此能證明PA為圓的切線．
（Ⅱ）設CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE•EB=CE•ED，得m=

5

k，由△AEC∽△DEB，△CEB∽△AED，能求出AB=10，BD=4

5

，由此能求出sin∠BCE．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=

π

2

，∠CAB+∠ABC=

π

2

，
∵∠PAC=∠ABC∴∠PAC+∠CAB=

π

2

，
∴PA⊥AB，
∵AB為直徑，∴PA為圓的切線．…（4分）
（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE•EB=CE•ED，∴m=

5

k，
∵△AEC∽△DEB⇒

BD

8

=

3m

6k

⇒BD=4

5

△CEB∽△AED⇒

BC2

AD2

=

25m2-64

25m2-80

=(

3k

m

)2⇒m=2，k=

2 5

5

，
∴AB=10，BD=4

5

．
在直角三角形ADB中，sin∠BAD=

BD

AB

=

4 5

10

=

2 5

5

，
∵∠BCE=∠BAD，∴sin∠BCE=

2 5

5

．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線線段的應用，解題時要認真審題，注意相交弦定理和相似三角形性質(zhì)的合理運用．