Question

已知函數(shù)y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]在x=3處有極值，則函數(shù)的最大值是________．

Answer 1

8
分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在x=3處有極值得f^/（3）=0，解關(guān)于a的方程，得出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)在區(qū)間[0，4]的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)在區(qū)間[0，4]的最大值．
解答：由函數(shù)y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]
得：y^/=3ax²-30x+36
∵函數(shù)在x=3處有極值
∴f^/（3）=27a-54=0
故a=2，函數(shù)表達(dá)式為y=2x³-15x²+36x-24
∴f^/（x）=6x²-30x+36=6（x-2）（x-3）
由f^/（x）＞0得x＜2，x＞3，所以函數(shù)在（0，2）和（3，4）上為增函數(shù)；
由f^/（x）＜0得2＜x＜3，所以函數(shù)在（2，3）上為減函數(shù)
所以函數(shù)的最大值為f（2）與f（4）中較大的一個(gè)
而f（2）=4＜f（4）=8
所以函數(shù)的最大值是8
故答案為：8
點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．