Question

17．實系數(shù)一元二次方程x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）上，另一個根在（1，2）上，則$\frac{b-3}{a-1}$的取值范圍是（　　）

• A． [1，3]
• B． （1，3）
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+ax+2b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，設(shè)點E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，根據(jù)直線的斜率公式可得k=$\frac{b-3}{a-1}$表示D（1，3）、E連線的斜率，將點E在區(qū)域內(nèi)運動并觀察直線的傾斜角的變化，即可算出k=$\frac{b-3}{a-1}$的取值范圍

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2b＞0\\ 1+a+2b＜0\\ 4+2a+2b＞0\end{array}\right.$．
作出滿足上述不等式組對應(yīng)的點（a，b）所在的平面區(qū)域，
得到△ABC及其內(nèi)部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．

其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
設(shè)點E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，
則k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示點E（a，b）與點D（1，3）連線的斜率
∵k_AD=$\frac{3-1}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，k_CD=$\frac{3-0}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，結(jié)合圖形可知：k_AD＜k_CD，
∴$\frac{b-3}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
故選：D．

點評 本題給出含有參數(shù)a、b的一元二次方程滿足的條件，求參數(shù)a、b滿足的不等式組，并依此求關(guān)于a、b式子的取值范圍．著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．