Question

已知sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答： 解：∵sinx+siny=

1

3

，
∴siny=

1

3

-sinx，
∵-1≤

1

3

-sinx≤1，
∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x）=（sinx-

1

2

）²-

11

12

，
∵-

2

3

≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=-

2

3

函數(shù)取得最大值為（-

2

3

-

1

2

）²-

11

12

=

4

9

，
當(dāng)sinx=

1

2

函數(shù)取得最小值為-

11

12

，
故siny-cos²x的取值范圍是[-

11

12

，

4

9

]．
故答案為：[-

11

12

，

4

9

]

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)，求sinx的取值范圍是易錯點，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．