Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象的一部分如圖，已知函數(shù)與x軸交于點P（-2，0）和（6，0），點M，N分別是最高點和最低點，且∠MPN=

π

2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）若f（x₀+

10

3

）=

3

，求sin（

π

4

x₀-

π

6

）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象求出周期T，再由周期公式求出ω的值，再設(shè)M（10，A），N（2，-A），由題意得

PM

•

PN

=0，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積運算，列出方程求出A，把圖象上的點坐標(biāo)（2，-A）代入解析式，根據(jù)條件和特殊角的正弦值求出φ的值；
（Ⅱ）根據(jù)條件和（Ⅰ）代入后化簡得：sin(

π

8

x0-

π

3

)=

1

4

，利用二倍角余弦公式求出cos(

π

4

x0-

2π

3

)的值，利用誘導(dǎo)公式求出sin(

π

4

x0-

π

6

)的值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意好人圖象得T=16，∴T=

2π

ω

=16，解得ω=

π

8

，
設(shè)M（10，A），N（2，-A），
∵∠MPN=

π

2

，∴

PM

•

PN

=0，
∴

PM

•

PN

=(12，A)•(4，-A)=48-A2=0，解得A=4

3

，
∴f(x)=4

3

sin(

π

8

x+φ)
∵f（x）又過點N（2，-A），得sin(

π

4

+φ)=-1
∴φ=2kπ-

3π

4

，k∈Z
∵|φ|＜π，∴φ=-

3π

4

∴f(x)=4

3

sin(

π

8

x-

3

4

π)，
（Ⅱ）把f(x0+

10

3

)=

3

代入f（x）得，4

3

sin(

π

8

x0-

π

3

)=

3

，
則sin(

π

8

x0-

π

3

)=

1

4

，
∵cos(

π

4

x0-

2π

3

)=cos2(

π

8

x0-

π

3

)=1-2sin2(

π

8

x0-

π

3

)=

7

8

，
∵sin(

π

4

x0-

π

6

)=cos[(

π

4

x0-

π

6

)-

π

2

]=cos(

π

4

x0-

2π

3

)
∴sin(

π

4

x0-

π

6

)=

7

8

．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的圖象求解析式，向量垂直的條件，向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積運算，以及二倍角余弦公式、誘導(dǎo)公式，變角是三角恒等變換的關(guān)鍵，考查識圖能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．